当前国际形势复杂多变，我国正处于经济转型的关键阶段，面临能源安全与“碳达峰”“碳中和”目标双重挑战^［1］。电动汽车是保障能源安全与实现“双碳”目标的重要举措^［2］。电动汽车的安全性、耐久性、可靠性和效率至关重要。为了实现这些目标并执行必要的管理和诊断功能，电池管理系统(BMS)的应用显得尤为重要^［3-4］。荷电状态(SOC)表示电池的剩余可用电量，是BMS需要监测的重要参数之一。实时精确的SOC估算可以延长电池寿命，保障电动汽车行驶安全^［5］。

近年来，学术界对锂离子电池SOC估算算法进行了系统的分析与总结。国内外常用的SOC估算方法主要包括传统方法、数据驱动法、基于模型的方法和混合方法^［6］。传统方法包括安时积分法与开路电压法，其中安时积分法不能确定电池SOC初始值，易产生电流积分累计误差^［7］。数据驱动法包括神经网络、支持向量机和模糊控制等。神经网络的训练过程需要充足的数据，若模型训练和验证不足，可能会导致欠拟合，进而影响模型在新数据上的表现^［8］。支持向量机和模糊控制等基于数据驱动的SOC估计方法则需要大量的训练数据。但在实际应用中获取高品质的电池数据很困难，需消耗大量的时间和资源^［9］。基于模型的方法包括卡尔曼滤波器( KF)、H无穷滤波器以及滑模观测滤波器等。H无穷滤波器计算复杂，而滑模观测滤波器的输出存在抖动问题。此外，等效电路模型（ECM）便于构建以SOC为状态的状态空间方程，因此可以使用卡尔曼滤波(KF)进行状态估计^［10］。

本文针对电池SOC进行估算。首先采用扩展卡尔曼滤波(EKF)算法进行在线参数辨识，并对EKF、无迹卡尔曼滤波(UKF)算法进行了建模与仿真。通过分析两种算法的仿真结果，提出了多新息无迹卡尔曼滤波（MIUKF)算法来估算SOC。对比分析EKF、UKF、MIUKF 算法的仿真结果，验证了MIUKF算法在降低SOC估算误差方面的有效性。

1 电池建模 1.1 等效电路模型

常见的3种锂离子电池建模方法包括电化学模型、神经网络模型和等效电路模型。这些模型分别从电化学反应、输入输出拟合和等效电路三个方面对锂离子电池的性能特征进行了探索，并试图揭示它们之间的关系。综合考虑参数辨识精度以及计算复杂度等，本文采用二阶RC等效电路模型，如图1所示，其中：U_OC为开路电压；R₁、R₂分别为在充放电过程中电化学反应引起的极化电阻和浓度差引起的极化电阻；U₁、U₂分别为R₁和R₂两端电压；C₁、C₂均为极化电容；R₀为电池在较稳定状态下的欧姆内阻；U_L为电池外部的端电压；I_L为电池工作时的负载电流。规定电流方向放电为正，充电为负。

根据基尔霍夫定律，电压和电流之间的关系式为

$ \qquad \left\{\begin{aligned}& {\dot{U}_{1}}=\frac{{\mathrm{d}}{U}_{1}}{{\mathrm{d}}t}=-\frac{1}{{R}_{1}{C}_{1}}{U}_{1} + \frac{1}{{C}_{1}}{I}_{{\mathrm{L}}}\\& {\dot{U}_{2}}=\frac{{\mathrm{d}}{U}_{2}}{{\mathrm{d}}t}=-\frac{1}{{R}_{2}{C}_{2}}{U}_{2} + \frac{1}{{C}_{2}}{I}_{{\mathrm{L}}}\\& {U}_{\text{L}}={U}_{{\mathrm{OC}}}-{U}_{1}-{U}_{2}-{R}_{0}{I}_{{\mathrm{L}}} \end{aligned} \right.$

(1)

式中：$ {\dot{U}_{1}} $、$ {\dot{U}_{2}} $分别为极化电阻R₁和R₂两端电压的变化率（一阶导数）。

由荷电状态SOC的定义可知

$ \qquad S_{\mathrm{OC}}(t)=S_{\mathrm{OC}}(0)-\frac{\eta }{{C}_{{\mathrm{N}}}}\int\nolimits_{0}^{t}{I}_{{\mathrm{L}}}(t){\mathrm{d}}t $

(2)

式中：S_OC(0)为起始工作状态的SOC；S_OC(t)为当前工作状态的SOC，t为积分终止时刻，表示当前需要估算SOC的时间点（通常从实验开始时刻t=0累计）；$ \eta $为电池常温下的充放电效率；C_N为电池出厂额定容量。

式（1）、（2）经离散后得到

$ \left\{\begin{aligned}& {U}_{1}(k)={{\mathrm{e}}}^{-\tfrac{T}{{\tau }_{{{}^{{\mathrm{s}}}}}}}{U}_{1}(k-1) + (1-{{\mathrm{e}}}^{-\tfrac{T}{{\tau }_{{{}^{{\mathrm{s}}}}}}}){R}_{1}{I}_{{\mathrm{L}}}(k-1)\\& {U}_{2}(k)={{\mathrm{e}}}^{-\tfrac{T}{{\tau }_{{{}^{{\mathrm{s}}}}}}}{U}_{2}(k-1) + (1-{{\mathrm{e}}}^{-\tfrac{T}{{\tau }_{{{}^{{\mathrm{s}}}}}}}){R}_{2}{I}_{{\mathrm{L}}}(k-1)\\& {U}_{\text{L}}(k)={U}_{{\mathrm{OC}}}(k)-{U}_{1}(k)-{U}_{2}(k)-{R}_{0}{I}_{{\mathrm{L}}}(k)\\& S_{\mathrm{OC}}(k)=S_{\mathrm{OC}}(k-1)-\frac{T}{{C}_{{\mathrm{N}}}}{I}_{{\mathrm{L}}}(k-1) \end{aligned}\right. $

(3)

状态方程为

$ \quad\begin{split} & \begin{bmatrix} S _{\mathrm{OC}}(k) \\ U_1(k) \\ U_2(k) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & {\mathrm{e}}^{-\tfrac{T}{\tau_1}} & 0 \\ 0 & 0 & {\mathrm{e}}^{-\tfrac{T}{\tau_2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} S _{\mathrm{OC}}(k-1) \\ U_1(k-1) \\ U_2(k-1) \end{bmatrix} +\\&\quad \begin{bmatrix} -\dfrac{T\eta}{C_{\mathrm{N}}} \\ R_1(1-{\mathrm{e}}^{-\tfrac{T}{\tau_1}}) \\ R_2(1-{\mathrm{e}}^{-\tfrac{T}{\tau_2}}) \end{bmatrix} I_{\mathrm{L}}(k-1) + w(k-1) \end{split} $

(4)

输出方程为

$ {U}_{\text{L}}(k)={U}_{\mathrm{OC}}(k)-{U}_{1}(k)-{U}_{2}(k)-{R}_{0}{I}_{\mathrm{L}}(k) + v(k) $

(5)

式中：T为采样时间；τ为时间常数；w(k−1)和v(k)均为高斯白噪声。

1.2 开路电压测试

本文采用马里兰大学增量电流开路电压(OCV)实验^［11］，实验对象为标称容量为2 Ah、标称电压为3.7 V的三元锂电池。图2为25 ℃时电池增量电流OCV实验电流、电压曲线。

对实验数据进行多项式拟合。当采用8次拟合时，均方根误差达到0.005 995。开路电压与荷电状态的关系曲线如图3所示。拟合函数表达式为

$ \begin{split} {U}_{\text{OCV}}\text=&-166{{S _\mathrm{OC}}}^{\text{8}} + 651.3{{S _\mathrm{OC}}}^{7} - 1032{{S _\mathrm{OC}}}^{{{}_{6}}} +\\& 850{{S _\mathrm{OC}}}^{5} -395.4{{S _\mathrm{OC}}}^{\text{4}}\text{ + }111.2{{S _\mathrm{OC}}}^{\text{3}}-\\& 21.36{{S _\mathrm{OC}}}^{\text{2}} + 3.383{S _\mathrm{OC}} + 3.264 \\[-1pt] \end{split} $

(6)

式中：$ U_{\mathrm{OCV}} $为电池开路电压。

1.3 参数在线辨识

目前参数辨识方法分为离线参数辨识与在线参数辨识。离线辨识方法采用最小二乘法，容易出现数据饱和现象。在线参数辨识方法中最常用的是带有遗忘因子的最小二乘法和扩展卡尔曼滤波方法，其中带有遗忘因子的最小二乘法优点在于通过最小化误差平方和找到数据的最佳函数匹配，缺点是因遗忘因子为固定值而导致锂电池参数辨识结果稳定性与锂电池模型精度无法同时兼顾^［12］；而扩展卡尔曼滤波则是一种适用于非线性时变系统的最优递推估计算法，能够同时辨识电池的参数和状态，从而克服参数辨识中对噪声敏感的问题，适用于传感器受噪声影响的系统。本文采用城市道路行驶循环(UDDS)工况实验获得的数据并利用扩展卡尔曼滤波(EKF) 进行在线参数辨识。基于EKF算法的在线参数辨识结果如图4所示。

在完成模型参数辨识后，本文在UDDS工况下通过测试获得实验数据，并通过比较实测端电压与模型输出端电压之间的差异，对模型性能进行了验证。图5为UDDS工况下实验电压与仿真电压对比。图6为UDDS工况下实验电压与仿真电压误差。

2 锂离子电池SOC估计 2.1 MIUKF的SOC估计

传统的UKF算法通常只使用一个新息，并且仅考虑前一时刻的状态，忽略了过去的数据信息^［13］。针对时变参数系统，本文将多新息辨识理论引入传统的UKF算法中，利用多个时刻的数据信息，将滤波算法中的残差标量扩展为新息矩阵。该方法可实现对历史数据的重复使用，从而有效提高UKF在非线性系统中的适应性与收敛性。

EKF−MIUKF算法估算SOC的步骤为：

(1) 初始状态均值$ {\hat{X}}_{0} $与初始状态协方差矩阵$ {P}_{0} $

$ \qquad {{\hat{X}}_{0}}= E[{{X}_{0}}] $

(7)

$ \qquad {{P}_{0}}= E[({{X}_{0}}-{{\hat{X}}_{0}}){{({{X}_{0}}-{{\hat{X}}_{0}})}^{\text{T}}}] $

(8)

式中：$ {{X}_{0}} $为初始状态；E为数学期望。

(2) 状态更新：更新算法的先验状态值$ \hat{{\boldsymbol{X}}}(\left.k\right| k-1) $和系统方差预测值$ {\boldsymbol{P}}(\left.k\right| k-1) $

$ \qquad\hat{X}\left(\left. k \right|k-1\right)=\sum\limits_{i=0}^{2n}{\omega _{\text{m}}^{(i)}}{{X}^{(i)}}(\left. k \right|k-1) $

(9)

$ \begin{split} & P(\left. k \right|k-1)=\sum\limits_{i=0}^{2n}{\omega _{\text{c}}^{(i)}}[\hat{X}(\left. k \right|k-1)-{{X}^{(i)}}(\left. k \right|k-1)]\\ & \qquad[\hat{X}(\left. k \right|k-1)-{{X}^{(i)}}(\left. k \right|k-1){{]}^{\text{T}}}+Q(k-1) \end{split} $

(10)

式中：n为状态变量的维度；$ \omega _{\text{m}}^{(i)} $为第i个sigma采样点的均值权重；$ \omega _{\text{c}}^{(i)} $为第i个sigma采样点的协方差权重；$ {{X}^{(i)}}(\left. k \right|k-1) $为UKF算法中的第i个sigma采样点；$ Q(k-1) $为过程噪声协方差矩阵。

(3)测量更新：更新观测方程的方差预测值$ {P}_{zz} $和状态变量协方差$ {P}_{xz} $

$ \quad \begin{split} {{P}_{\textit z \textit z}}&=\sum\limits_{i=0}^{2n}{\omega _{{\mathrm{c}}}^{(i)}}[{{Z}^{(i)}}(\left. k \right|k-1)-\bar{Z}(\left. k \right|k-1)] \\ & \quad [{{Z}^{(i)}}(\left. k \right|k-1) -\bar{Z}(\left. k \right|k-1){{]}^{\text{T}}}+R(k-1) \end{split} $

(11)

$\quad\begin{split} {{P}_{x \textit z}} & =\sum\limits_{i=0}^{2n}{\omega _{{\mathrm{c}}}^{(i)}}[{{X}^{(i)}}(\left. k \right|k-1)-\bar{Z}(\left. k \right|k-1)] \\ & \quad [{{Z}^{(i)}}(\left. k \right|k-1)-\bar{Z}(\left. k \right|k-1){{]}^{\text{T}}} \end{split}$

(12)

式中：$ {{Z}^{(i)}}(\left. k \right|k-1) $为观测值采样点；$ \bar{Z}(\left. k \right|k-1) $为观测预测值；$ R(k-1) $为观测噪声协方差矩阵。

（4）定义新息矩阵$ {E}_{p}(k) $

$ E_p(k) = \left( \begin{array}{l} e(k) \\ e(k-1) \\ \cdots \\ e(k-p) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} Z(k) - \hat{Z}(k|k-1) \\ Z(k-1) - \hat{Z}(k-1|k-2) \\ \cdots \\ Z(k-p) - \hat{Z}(k-p|k-p-1) \end{array} \right) $

(13)

式中：p为多新息窗口长度，表示使用过去p+1个时刻的观测数据；$ e(k-{i}) $为第k−i时刻的观测误差(i=0、1、2$ \cdots $p)；$ Z(k-i) $为第k−i时刻的实际观测值；i为时间滞后虚拟变量，取值范围为$ 0\le i\le p $。

（5）卡尔曼增益$ {K}_{p}(k) $

$ {K}_{p}(k)=[K(k),K(k-1),\cdots K(k-p)] $

(14)

式中：$ K(k-i) $为第k−i时刻的卡尔曼增益。

（6）更新后验状态值和状态误差协方差

$ \hat{X}(\left.k\right| k)=\hat{X}(\left.k\right| k-1) + K(k)[Z(k)-\overline{Z}(\left.k\right| k-1)] $

(15)

$ P(\left.k\right| k)=P(\left.k\right| k-1)-K(k){P}_{\textit z \textit z}{K}^{{\mathrm{T}}}(k) $

(16)

根据EKF算法在线参数辨识与MIUKF算法估计锂电池的SOC的算法流程如图7所示。

2.2 EKF−MIUKF算法验证分析

为了验证和评估本文所采用的MIUKF算法在估算锂电池荷电状态(SOC)方面的效果，根据UDDS工况下的实验数据，分别采用EKF、UKF和MIUKF算法进行SOC估计。SOC估计对比和SOC误差对比曲线分别如图8 ～ 9所示。

由图8 ～ 9可知，在UDDS工况下，EKF、UKF和MIUKF算法均可以估算出动力电池的SOC，但是EKF算法的结果整体波动较大。通过局部放大图可知，MIUKF算法估算的SOC曲线与真实值最接近，最大估计误差为1.1%，平均误差为0.67%。这表明 MIUKF算法能更准确地反映实际情况。3种算法估算结果的平均绝对误差（MAE）、均方误差（MSE）和均方根误差（RMSE）如表1所示。可见，相较于前两种算法，MIUKF算法的误差较小，精度较高。

3 结论

本文建立了二阶RC等效电路模型，并采用EKF算法对模型参数进行在线辨识。通过将EKF算法与MIUKF算法相结合，对锂电池的SOC进行估计。采用UDDS工况下的实验数据，并利用实测端电压与模型输出端电压的差值验证模型的准确性。结果表明，MIUKF算法相较于EKF和UKF算法可获得更高的估算精度，可满足电动汽车对锂电池SOC估算的要求。