复合液滴在工业领域中普遍存在^［1–2］。在3D打印过程中，液滴中常常出现气泡，且气泡的形成影响了液体的流动特性，导致打印成品的外观粗糙，质量严重下降。此外，复合液滴作为一种有效的流体输送形式，在微流控领域得到了广泛的应用^［3–5］。微通道限制了连续分配液滴的能力，这一方面增加了建造成本和难度，另一方面残余液体容易在表面堆积。因此，研究复合液滴的流动特征成为研究者关注的重要问题^［6–10］。

Ling等^{［11–12］}通过在聚四氟乙烯表面液滴中注入气泡探讨了复合液滴的黏附特征。结果表明，当向液滴中注入一个大尺寸气泡时，液滴可以黏附在表面，即使将表面倾斜至纯液滴可以滑动的角度，复合液滴仍可以固定在该表面。研究者通过注入气泡以及使气泡简单机械破裂，实现了液滴的随意钉扎和释放。Biasiori-Poulanges等^［13］提出了将冲击波作为含气泡液滴的释放机制，并分析了释放过程中复杂的气泡动力学理论以及液滴对冲击驱动的响应。Zhou等^［14］发现，当液滴撞击超疏水表面时，气泡的产生可以抑制复合液滴在该表面的反弹。

近年来，采用外界振动刺激成为操控液滴运动特征的重要方法^{［15–18］}。Shin等^［19］对在机械振动下液滴的形状和脱离表面的条件进行了研究。结果表明，当向扬声器施加更高的电压时，液滴的振荡更加活跃，并且只有在一定条件下小尺寸液滴才会完全分离。Costalonga等^［20］研究了液滴的两种振动模式：对称和非对称，发现倾斜的振动会使液滴移动，且振动频率越接近液滴的共振频率效果越明显。此外，在振动条件下液滴的铺展行为也是研究重点。研究者通过在不同表面如普通光滑表面、微结构疏水表面以及液体注入表面等进行实验，分析了液滴的铺展特征^{［21–22］}。Nath等^［23］在液体注入表面进行了关于液滴铺展的研究。结果表明，尽管液体注入表面比裸露的固体表面更加光滑，但液滴在液体注入表面的铺展速度较慢，且伴随着显著的能量耗散。

综上所述，尽管目前已对液滴的运动特征进行了大量的研究^{［24–25］}，但对振动作用下复合液滴的铺展行为特征还鲜有报道。为此，本研究将采用实验和理论分析相结合的方法，探讨含气泡的复合液滴在不同振动条件下的铺展特征，分析气泡位置、尺寸以及振动参数对液滴铺展特征的影响。

1 实验材料与装置

实验中采用的梯度浸润微结构表面示意图如图1（a）所示，其中：微方柱呈辐射式分布，每个微方柱的高度h为80 μm；a为两列微方柱的间距，最小值为40 μm；b为微方柱的宽度，最小值为40 μm；相邻两列微方柱结构的夹角ε=0.6°；表面的整体尺寸为25 mm × 20 mm。微结构表面面积份额$ \varphi $为

$ \qquad \varphi = \frac{{{b^2}}}{{{\rm{(}}a + b{\rm{)(}}b + {\rm{40)}}}} $

(1)

由图1（a）看出，沿微方柱尺寸增大方向，a和b均逐渐变大，因此通过式（1）计算得到的面积份额$ \varphi $沿微方柱尺寸增大方向逐渐增大。

在梯度浸润微结构表面不同位置测试得到的接触角θ特征如图1（b）所示。可以看到，在不同位置，液滴两端的接触角并不相同。这是微结构表面梯度的表面自由能不同导致。此外，随着$ \varphi $的增大（微方柱尺寸增大方向），接触角呈逐渐减小的趋势。这是因为当液滴置于表面时，液滴呈Cassie状态，液滴底部一部分与固体表面接触，另一部分与微结构内的空气接触。随着$ \varphi $增大，液滴与固体表面的接触面积逐渐增大，导致液滴接触角逐渐减小。

实验装置如图2所示。将激振器（南昌测动科技有限公司，JZK−5）产生的垂直机械振动作为振动源，其振动频率为0 ～ 200 Hz，振幅为±2 mm。利用信号发生器（RIGOL，DG1022U）和功率放大器调节振动频率和振幅，并将产生的正弦振动传导至液滴。采用高速摄像仪(Fastec Imaging，Hispec 3)进行图像采集，采集速度为1 000帧/s。

2 理论分析

当一个含气泡的复合液滴置于倾斜表面时，液滴受力分析如图3所示，其中：α为倾斜台的倾斜角度；F_G为液滴在平行于倾斜表面方向受到的重力分力；F_B为气泡所受的沿倾斜表面的浮力分力，由于液滴内存在气泡，其也是抑制液滴向下滑动的阻力；F_R为抑制液滴向下滑动的钉扎力；F_V为振动施加给液滴的力。

液滴在平行于斜面方向受到的重力分力F_G为

$ \qquad {F_{\text{G}}} = \rho Vg{\text{sin}}\,\alpha $

(2)

式中：$ \rho $为液滴密度；V为液滴体积；g为重力加速度。

对于一个静止在倾斜表面的液滴，F_R可表示为

$ \qquad {F_{\text{R}}} = w{\gamma _{\text{L}}}(\cos {\theta _{{\text{rear}}}} - \cos {\theta _{{\text{forward}}}}) $

(3)

式中：w为液滴宽度；γ_L为液体的表面张力；θ_forward和θ_rear分别为液滴前端接触角和后端接触角。

当液滴前端接触角大于前进角θ_A，并且后端接触角小于后退角θ_R时，液滴会发生移动。在表面倾斜过程中，由于重力分力增加，液滴前端接触角会逐渐增大，当超过θ_A时，前端接触线发生移动，同时后端接触角减小。当后端接触角小于θ_R时，后端接触线移动，液滴整体向前移动。

本文采用的是浸润梯度表面，因此考虑到不同位置的固体面积份额不同，引入有效表面张力γ_eff，即

$\qquad {\gamma _{^{{\text{eff}}}}} = \varphi {\gamma _{{\text{SV}}}} + (1 - \varphi ){\gamma _{{\text{LV}}}} $

(4)

式中：${\gamma _{{\text{SV}}}}$为固体和气体之间的表面张力；${\gamma _{{\text{LV}}}}$为液体和气体之间的表面张力。

液滴前端、后端位置不同，有效表面张力也不同，因此钉扎力${F_{\text{R}}}$可表示为

$\qquad {F_{\text{R}}} = w(\gamma _{{\text{eff,r}}}^{}\cos {\theta _{{\text{rear}}}} - \gamma _{{\text{eff,f}}}^{}\cos {\theta _{{\text{forward}}}}) $

(5)

式中：$\gamma _{{\text{eff,f}}}^{}$、$\gamma _{{\text{eff,r}}}^{}$分别为液滴前端和后端有效表面张力。

F_B可表示为^［11］

$ \qquad {F_{\text{B}}} = {\rho _{\text{B}}}{V_{\text{B}}}g\sin \alpha $

(6)

式中，${\rho _{\text{B}}}$、${V_{\text{B}}}$分别为气泡内气体的密度和体积。

气泡的存在会导致液滴与微结构表面的接触位置改变，从而导致液滴前端、后端接触角改变，并使得液滴原本的维持力产生变化。考虑到这一影响，引入修正系数c（c由实验确定）。因此，当复合液滴在微结构表面静止时，有

$ \qquad{F_{\text{B}}} + c{F_{\text{R}}} = {F_{\text{G}}} $

(7)

对表面施加振动时，液滴会表现出两种典型的形变模式，即左右摇摆模式和上下振荡模式。根据液滴振动理论^［18］，对于以左右摇摆模式形变的液滴，其共振频率f_r为

$ \qquad {f_{\text{r}}} = {\beta _{\text{r}}}{\left(\frac{{\gamma _{{\text{eff,L}}}^{}}}{{\rho V}}\right)^{\tfrac{1}{2}}} $

(8)

式中：$ \gamma _{{\text{eff,L}}}^{} $为液滴的有效表面张力；β_r为与液滴振动模式相关的经验值，取值为0.95±0.01。

对于以上下振荡模式形变的液滴，共振频率f_p为

$ \qquad {f_{\text{p}}} = {\beta _{\text{p}}}{\left(\frac{{\gamma _{{\text{eff,L}}}^{}}}{{\rho V}}\right)^{\tfrac{1}{2}}} $

(9)

式中：β_p为与液滴振动模式相关的经验值，取值为0.47±0.01。

本实验中观察到液滴均以左右摇摆模式形变，因此采用f_r进行分析。

由于施加的振动给液滴提供的能量主要体现在改变液滴接触角上，F_V可表示为

$ \qquad{F_{\text{V}}} = w(\gamma _{{\text{eff,r}}}^{}\cos {\theta _{{\text{rear}}}} - \gamma _{{\text{eff,f}}}^{}\cos {\theta _{{\text{forward}}}}) $

(10)

最终可以得到液滴在振动条件下的运动方程为

$ \qquad {F_{\text{V}}} + {F_{\text{G}}} - {F_{\text{B}}} - c{F_{\text{R}}} = \rho V\alpha_0 $

(11)

式中，$ \alpha_0 $为液滴移动时的加速度，当$ \alpha_0=0 $时，液滴运动达到平衡。

3 结果与讨论 3.1 气泡位置对复合液滴铺展特征的影响

将5 μL气泡分别注入100 μL液滴前端、中部和后端时，发现气泡注入位置不同，液滴的状态变化不同，如图4所示。当气泡注入液滴前端时，由图4（a）可以观察到，开始（倾角α=0°）时液滴和气泡前端接触线重合。随着α逐渐增大，液滴和气泡前端接触线开始分离。在α慢慢增大至7°的过程中，液滴一直向前移动，气泡则被牢牢钉扎在原地。当α继续增加时，液滴向前移动，液滴后端接触线越来越接近气泡后端接触线。当α增大至19°时，液滴和气泡后端接触线重合。在这个过程中，液滴的表面张力导致其后端接触线收缩，气泡受到液滴的压力增大，因此当两者的后端接触线刚接触时，气泡和液滴后端形状相同。当α增大到20°时，气泡凸出液滴后端接触线。当α=22°时，气泡所受压力持续增加，气泡被压破，液滴后端接触角快速减小（小于后退角），液滴向前运动一小段距离。

如图4（b）所示，当气泡注入液滴中部时，开始（倾角α=0°）时气泡和液滴前端、后端接触线均不重合。当α增大至3°时，液滴开始向前移动。之后，随着α逐渐增大，液滴一直向前移动，气泡则被牢牢钉扎在梯度浸润表面。当α增大至19°时，液滴和气泡后端接触线重合，这时液滴和气泡后端形状相同，气泡开始受到液滴后端的压力。当α为20°时，气泡凸出液滴边缘。当α继续增大至22°时，气泡破裂，液滴后端接触角突然减小，液滴向前运动一小段距离。

当气泡注入液滴后端时，液滴在倾角α为4°时开始向前移动。之后液滴的行为与前述液滴和气泡后端接触线重合时的情况一致。当α增大至21°时，气泡破裂，液滴向前突进一小段距离。

通过图4可以分析出，气泡位置越靠近液滴前端，对液滴前端接触角的影响越大，液滴会越先移动。气泡位置越靠液滴后端，对液滴后端接触角的影响越大，气泡越容易破裂。

当气泡位于液滴前端时，液滴和气泡前端接触角的变化如图5所示，其中：θ_f、θ_r分别为前端接触角和后端接触角。由图5（a）可以看出，当α=0°时，液滴和气泡前端接触线重合，因此液滴和气泡前端接触角相等。随着α增加，液滴前端接触角逐渐增大，直至超过前进角θ_A=117°时，液滴开始移动，此时液滴和气泡前端接触线分离（α=1°），液滴前端接触角开始大于气泡前端接触角。该过程中由于气泡和液滴前端接触线重合，气泡前端接触角短暂增加。随着α增加，液滴前端接触角不断增大，而气泡前端接触角却逐渐减小。这是因为该过程中气泡的钉扎力要大于气泡的浮力，而气泡在液滴中浮力竖直向上，因此随着表面倾斜，气泡会被牢牢地钉扎在原地，气泡前端接触角变小。当气泡破碎时，气泡内的压力瞬间释放，导致液滴突进且后退角突然减小，液滴前端接触角突然增大，气泡接触角降为0。

当气泡位于液滴前端时，液滴和气泡后端接触角的变化如图5（b）所示。开始时，液滴和气泡后端接触线并不重合，因此两者的后端接触角的初始值不同。当倾角α=2°时，液滴后端接触角开始小于后退角，液滴后端接触线开始移动。在α增大至19°的过程中，液滴后端接触角不断减小，气泡后端接触角则逐渐增大，液滴一直向前移动。但气泡受钉扎力作用不会移动。气泡受到的浮力始终竖直向上，因此随着倾角增大，气泡后端接触角逐渐增大，直至表面倾斜至19°左右时，液滴和气泡后端接触线重合，此时液滴和气泡后端接触角相等。当α=20°时，气泡的存在使液滴后端凸出，液滴和气泡后端接触角均短暂增大，且两者仍是重合状态。当α增大至21°时，气泡在液滴后端凸出，导致两者的后端接触线不再重合，液滴后端接触角减小，直到气泡破裂。

液滴接触角的变化会引起液滴接触线的移动。图6（a）给出了液滴前端接触线和后端接触线移动距离L_forward、L_rear。可以看到：当气泡位于液滴前端时，液滴前端接触线移动距离最明显（L_forward=7.080 mm）；当气泡位于液滴中部和后端时，液滴前端接触线移动距离分别为4.147、2.386 mm，但不如气泡在液滴前端时的大。总体来说，无论气泡位于液滴哪个位置，液滴前端接触线均会向前移动，但气泡在液滴前端时对液滴前端接触线的推动作用更明显。

当气泡位于液滴后端时，液滴后端接触线不会移动（L_rear=0 mm）；当气泡位于液滴中部时，液滴后端接触线会发生较小移动（L_rear=0.607 mm）；当气泡位于液滴前端时，液滴后端接触线移动距离最大（L_rear=2.773 mm）。因此，气泡距离液滴前端触线越近，对液滴前端接触线移动距离的影响越大，即气泡越接近液滴前端，对液滴前端接触线移动的促进作用越明显，气泡越接近液滴后端，对液滴后端接触线移动的抑制作用越明显。

为了便于比较，定义无量纲最大铺展因子δ，δ=L/L₀，其中：L为液滴在振动过程中最大铺展长度；L₀为液滴初始铺展长度。当气泡位于不同位置时，液滴最大铺展因子δ如图6（b）所示。可以看到，当气泡位于液滴前端时铺展程度最大，位于中部时次之，位于后端时最小。这是因为当气泡位于液滴前端时，气泡起到推进前端接触线移动的作用。该过程中气泡被钉扎在原地不动，因此液滴会一直向前移动，此时与气泡位于液滴中部和后端时相比，液滴前端接触线移动距离最长，也就意味着铺展程度最大。气泡在液滴前端时，随着倾角α继续增加，气泡和液滴后端接触线重合，气泡起到抑制液滴移动的作用。气泡位于液滴后端时该抑制作用最早发生，位于中部时次之，位于前端时最晚发生。此外，从图6（b）可以看出，每种情况下最后均以气泡破裂作为结束，而气泡破裂后液滴宽度会骤然下降，因此δ均会突然下降。

3.2 振动特征对复合液滴动态行为的影响

实验过程中发现，在固定角度的倾斜表面上向液滴前端注入气泡会使液滴前端接触线立刻发生明显移动。因为在气泡注入的一瞬间会使液滴前端接触角变大，甚至超过液滴前进角，从而使液滴向前移动，此时气泡的相对位置则移动到液滴中部。为了不使气泡的注入导致液滴接触线发生移动，实验时在液滴中部注入气泡，以便更加容易地观察振动特征对复合液滴动态行为造成的影响。

实验中选择对5 μL气泡注入70 μL液滴时形成的复合液滴进行分析。振动频率f范围为10 ～ 100 Hz，其中包括液滴的频率28 Hz；振幅A为0.056 ～ 1 mm。图7（a）为复合液滴在振动频率分别为 13、20、28、50 和100 Hz，振幅为1 mm时最大铺展长度L。可以看到，当振动频率为28 Hz时，液滴最大铺展长度L最大。这是因为此时液滴和振动台产生了共振，能量传输效率最高，因此液滴相变程度最大，铺展程度也最大。当振动频率逐渐远离共振频率时，液滴最大铺展长度逐渐变小。

由于共振频率下液滴的移动最明显，选取液滴的共振频率（28 Hz），且振幅分别为0.056、0.292、0.528、0.764、1 mm时进一步分析5 μL气泡注入70 μL液滴时形成的复合液滴的最大铺展特征，如图7（b）所示。可以看到，随着振幅的增加，液滴的最大铺展长度逐渐变大。当振幅增加到0.528 mm以上时气泡会凸出液滴边缘。

在振动过程中，液滴的动态接触角不断改变。图8（a）为1 mm振幅下，对液滴分别施加20、28、50 Hz频率振动时，液滴前端接触角随时间t的变化。可以看出，28 Hz下液滴前端接触角变化幅度最大，其次为20 Hz，最后为50 Hz。对于后端接触角的变化，也可以得到相同的结论。也就是说，液滴处于共振频率时，液滴接触角变化幅度越大，液滴形变越剧烈。随着振动频率远离共振频率，复合液滴接触角变化幅度变小。

实验中考察共振频率为28 Hz、3种不同振幅对液滴接触角的影响，结果如图8（b）所示。可以看到：不同振幅下前端接触角变化周期相同。这是因为它们处在同样的振动频率下；然而，它们的前端接触角变化幅度不同，变化幅度最大时的振幅为1 mm，其次为0.528 mm，最小为0.056 mm。液滴后端接触角的变化趋势也是如此。也就是说，当振动频率相同时，振幅越大，液滴接触角变化幅度越大，液滴形变程度越剧烈，导致液滴铺展程度越大。

通过式（10）可知，振动影响了液滴前端接触角和后端接触角。液滴接触角变化幅度越大，意味着$ {F}_{{\mathrm{V}}} $越大，液滴受到的合力就越大，加速度a也就越大，使得液滴铺展能力越强。此外，在共振频率下，随着振幅增加，液滴最大铺展长度增加。这是因为振幅越大意味着振动提供给液滴的能量越大，液滴前端、后端接触角变化和形变程度也更加剧烈，$ {F}_{\mathrm{V}} $增大，液滴的铺展程度增强。由图8可知，液滴前端接触角变化幅度大于后端接触角。这是液滴在运动过程中向前铺展导致液滴后端与气泡接触，从而对液滴后端接触线的移动起到抑制作用，进而导致液滴后端接触线的变化幅度没有前端接触线的大。

图9给出了复合液滴（70 μL液滴，5 μL气泡）最大铺展因子随振动参数的变化。可以看到，相对于其他振动频率，共振频率（28 Hz）下液滴最大铺展因子最大，且随着振幅增加呈增加趋势。当振动频率逐渐远离共振频率时，最大铺展因子呈减小趋势，其减小幅度与施加的振幅大小有关：当施加的振幅较大时，最大铺展因子缓慢减小；当施加的振幅较小时，最大铺展因子则快速减小。当频率为28 Hz、振幅为1 mm时，δ达到最大，为1.155。当频率从28 Hz偏离至100 Hz，且振幅保持不变时，最大铺展因子减小了6.8%。

3.3 气泡尺寸对振动复合液滴动态行为的影响

为了分析气泡尺寸对液滴动态行为的影响，分别选取50 μL纯液滴、5 μL气泡注入50 μL液滴以及10 μL气泡注入100 μL液滴，并施加相同频率和振幅的振动，结果如图10所示。对于无气泡注入的纯液滴，如图10（a）所示，在施加振动后，液滴会沿表面向前移动，这称为“绝对迁移现象”。对于注入气泡的复合液滴则会出现两种动态行为：当注入的气泡体积与液滴体积相差较小时，液滴难以移动，被牢牢钉扎在表面，如图10（b）所示，这称为“滞留现象”；当注入的气泡体积相对液滴体积较小时，复合液滴在振动时，液滴前端接触线会向前移动，后端接触线会逐渐接近气泡后端接触线（气泡始终被钉扎在原地），液滴相对向前移动一小段距离，如图10（c），这称为“相对迁移现象”。

经观察发现，振动复合液滴在移动过程中反复向外铺展和向内收缩，液滴动态接触角不断改变，使得液滴在振动过程中发生移动。5 μL气泡注入50 μL液滴的复合液滴不能移动的原因在于，注入气泡后气泡占液滴的体积比较大，复合液滴向外铺展和向内收缩的能力受到明显抑制，液滴前端、后端接触角变化幅度显著减小，也就意味着$ {F}_{\mathrm{V}} $减小，从而导致液滴不能迁移。

为了进一步分析气泡对复合液滴动态行为的影响，选取50 ～ 100 μL的6种不同体积的液滴，分别注入0、5 和10 μL气泡，然后施加共振频率和相同振幅（A=0.528 mm）的振动进行实验，最大铺展因子如图11所示，其中$ V_{\mathrm{a}} $为气泡体积。可以看到，对于相同液滴体积，气泡体积V_a越大，最大铺展因子越小。当气泡体积从0 μL增加到5 μL时，相同液滴体积下最大铺展因子减小约7.5%；当气泡体积从0 μL增加到10 μL时，最大铺展因子减小约10%。由此可见，气泡对液滴形变起到明显的抑制作用，导致液滴前端、后端接触角的变化幅度减小，并使得F_V减小，即驱动力减小，最终导致液滴的铺展能力减弱。此外，随着气泡体积的增大，F_B会增大，也就是阻力会增大，这也是导致液滴铺展能力减弱的重要原因。因此，当液滴体积一定时，气泡体积V_a越大，其抑制作用越强，液滴在振动作用下的形变能力越弱，最大铺展因子也就越小。

当注入气泡的体积相同时，随着液滴体积的增大，最大铺展因子呈先增大后减小的趋势，且最大值出现在液滴体积为80 μL时。液滴体积从50 μL增加到100 μL，气泡体积为0 μL时，δ从1.19增加到1.26，然后减小到1.18；气泡体积为5 μL时，δ从1.09增加到1.15然后减小到1.09；气泡体积为10 μL时，δ从1.06增加到1.11，然后减小到1.05，且峰值也出现在液滴体积为80 μL时。原因在于当液滴体积小于80 μL时，液滴的半径小于其毛细长度，液滴表面张力的作用较强，此时振动过程中液滴的形变能力更强，F_V增加；随着液滴体积逐渐增加，液滴受到的重力分力F_G也在增加，因此铺展程度随着液滴体积的增加而变大，最大值在V=80 μL附近。然而，当液滴体积超过80 μL后，液滴的半径大于其毛细长度，重力占据主导地位，表面张力的影响减弱，在振动作用下液滴的形变能力减弱，接触角变化幅度减小，导致F_V下降，使得液滴的最大铺展因子出现下降的趋势。

4 结论

（1）气泡位于液滴不同的位置时，复合液滴具有不同的动态特征。当气泡（5 μL）位于液滴（100 μL）前端时，液滴的移动距离最大，气泡位于液滴中部时次之，位于液滴后端时最小。复合液滴最大铺展因子随着倾角的增加而增加，当倾角超过某一阈值时，气泡破裂，液滴会突然向前移动一段距离后停止。实验中气泡位于液滴前端时，平面倾斜度的阈值在22°左右。

（2）当复合液滴受到不同频率和振幅的振动时，发现当液滴处于共振频率时，复合液滴铺展程度最大（70 μL液滴内含5 μL气泡，δ=1.155），且随着振幅的增大呈增加的趋势。当振动频率逐渐远离共振频率时，最大铺展因子呈减小趋势，其减小幅度与施加的振幅有关；当施加的振幅较大时，最大铺展因子缓慢减小；当施加的振幅较小时，最大铺展因子则快速减小。当频率从28 Hz偏离至100 Hz时，相同振幅下最大铺展因子下降了6.8%。

（3）复合液滴中气泡尺寸不同时，液滴会发生不同的移动现象。对于纯液滴，其会在浸润梯度表面发生整体移动，即出现“绝对迁移现象”；但是对于含气泡的复合液滴只会发生“相对迁移现象”或者“滞留现象”，这与气泡尺寸以及液滴体积大小有关。此外，气泡的存在对液滴形变有抑制作用。随着气泡体积的增大，最大铺展因子减小。气泡体积从0 μL增加到10 μL时，最大铺展因子减小约10%；而随着液滴体积的增大，最大铺展因子呈现先增加后减小的趋势。