换热网络是能源、石油化工领域的重要工艺环节，其优化设计对节能及经济效益的提高有重要意义。换热网络优化问题既包括换热器和公用工程面积费用以及公用工程费用的连续变量优化，又涉及有无换热器的整型变量优化。这些变量的相互作用使目标函数以及约束条件呈严重的非线性特性。其中，连续变量是产生非线性的本质原因，而整型变量的存在则使得这种非线性程度呈指数级增加^［1］。

换热网络优化问题大致可分为热力学方法和数学规划法。夹点技术^［2］作为最具代表性的热力学方法，凭借其物理意义清楚且操作简单的优势得到了广泛应用^［3-5］。然而，该技术分步优化的过程不能兼顾换热单元数、换热面积及能量回收之间的权衡关系，只能得到接近最优的换热网络结构^［6］。数学规划法兴起于20世纪80年代，基于数学理论提出的混合整数非线性规划（mixed integer nonlinear programming, MINLP）模型可以实现多个对象的同步优化。1990年，Yee等^［7-9］采用分级超结构（stage-wise superstructure）形式表示换热网络，建立了基于一系列线性及逻辑约束条件的换热网络同步综合模型。该模型凭借表示方法清晰、计算模型相对简单的优势得到了更为广泛的发展。随着计算机计算能力的高速发展，基于同步模型的数学规划法具有搜索针对性强、收敛速度快等优点，得到了进一定的应用。该优化方法大致可分为确定性方法和启发式方法。近年来，启发式方法在换热网络优化中受到一定的重视，例如模拟自然进化的遗传算法^［10］（GA）、群体智能类的微分进化法^［11-12］（DE）、粒子群算法^［13］（PSO）和基于随机概率的模拟退火法^［14］（SA）等。GA、DE和PSO等进化算法在优化后期会由于种群多样性缺失，容易收敛于局部极值点，无法达到搜寻全局最优的理想目标。近年来，肖媛等^［15-16］提出一种强制进化随机游走（random walk algorithm with compulsive evolution，RWCE）算法。该算法能同步优化换热网络的连续变量和整型变量，且在进化过程中始终保持个体的活跃，从而保证算法具有较强的全局搜索能力。

相较其他进化算法，RWCE算法能够始终保持较高的种群多样性。其进化过程中的控制参数如最大步长、最小换热量或换热面积以及接受差解概率的取值方法和取值范围都对结构进化的进度、换热单元生成和消去速度以及最终的换热单元数产生直接影响。由此可见，控制参数的调整对优化性能起着至关重要的作用。因此，本文基于RWCE算法重点分析控制参数随换热单元数的变化对网络性能的优化导向，并在此基础上建立控制参数动态更新促进结构进化的优化策略。

1 换热网络数学模型 1.1 问题描述

以2股热流体、3股冷流体为例，换热网络无分流分级超结构如图1所示，其中：每条水平线代表1股流体；箭头代表流体的流动方向，逆流布置； $ {{\rm{H}}_i}\left( {i = 1,\; \cdots ,\;{N_{\rm{H}}}} \right) $ 表示第i股热流体，N_H为热流体的股数； $ {{\rm{C}}_j}\left( {j = 1,\; \cdots ,\;{N_{\rm{C}}}} \right) $ 表示第j股冷流体，N_C为冷流体的股数；两个“〇”及它们之间的纵向连线表示1个换热器，反映冷、热流体的匹配关系，即与该换热器相连的热流体和冷流体在该位置进行换热；提供额外冷却和加热的公用工程加在每股流体的末端；“〇”内H表示热公用工程，C表示冷公用工程。一般来说，换热网络级数N_S 取值不大于max（N_H，N_C）。图1为两级结构。级数确定后，不同股流体间最多的匹配次数为N_S，每级换热器个数为N_H × N_C，最大换热器个数可达N_H × N_C × N_S。

1.2 目标函数

换热网络优化问题的目标函数F为年综合费用，包括投资费用与运行费用。其数学表达式为

$ \begin{split} &\qquad F = {F_{{\rm{EX}}}} + {F_{{\rm{HU}}}} + {F_{{\rm{CU}}}} + {F_{{\rm{A}}}}=\\ & {C_0}\displaystyle \sum \limits_{k = 1}^{{N_k}} \displaystyle \sum \limits_{i = 1}^{{N_{\rm{H}}}} \displaystyle \sum \limits_{j = 1}^{{N_{\rm{C}}}} {Z_{k,\;i,\;j}} + \displaystyle \sum \limits_{i = 1}^{{N_{\rm{H}}}} {\left( {{C_1}ZQ} \right)_{{\rm{HU}},\;i}} +\\ &\displaystyle \sum \limits_{i = 1}^{{N_{\rm{C}}}} {\left( {{C_1}ZQ} \right)_{{\rm{CU}},\;j}}+ \displaystyle \sum \limits_{k = 1}^{{N_k}} \displaystyle \sum \limits_{i = 1}^{{N_{\rm{H}}}} \displaystyle \sum \limits_{j = 1}^{{N_{\rm{C}}}} {\left( {{C_2}Z{A^{\rm{b}}}} \right)_{k,\;i,\;j}} + \\ &\displaystyle \sum \limits_{i = 1}^{{N_{\rm{H}}}} {\left( {{C_2}Z{A^n}} \right)_{{\rm{HU}},\;i}} + \displaystyle \sum \limits_{i = 1}^{{N_{\rm{C}}}} {\left( {{C_2}Z{A^n}} \right)_{{\rm{CU}},\;j}} \end{split} $

(1)

式中： $ {F}_{{\rm{E}}{\rm{X}}} $ 为固定投资费用； $ {F}_{{\rm{H}}{\rm{U}}} $ 、 $ {F}_{{\rm{C}}{\rm{U}}} $ 分别为热、冷公用工程的年运行费用， $ {\rm{H}}{\rm{U}} $ 代表热公用工程， $ {\rm{C}}{\rm{U}} $ 代表冷公用工程； $ {F}_{{\rm{A}}} $ 为所有换热单元的面积费用； $ k $ 代表超结构第 $ k $ 级； $ {C}_{0} $ 为换热器固定投资费用系数； $ {C}_{1} $ 为冷/热公用工程费用系数； $ {C}_{2} $ 为换热器面积费用系数； $ A $ 代表换热器面积； $ Z $ 为表示换热器是否存在的逻辑变量，存在时取1，不存在时取0； $ {\left({C}_{1}ZQ\right)}_{{\rm{H}}{\rm{U}},\;i} $ 表示第 $ i $ 股热流体上的热公用工程；n为冷/热公用工程的面积指数；b为换热器的面积指数；N_k为级数；Q为换热量。

计算过程中，冷、热流股采取逆流布置，以换热量 $ Q $ 为优化变量，遵循的热平衡公式为

$ {Q}_{k,i,j}={GC}_{pi} \left({t}_{k,i}^{{\rm{i}}}-{t}_{k,i}^{{\rm{o}}}\right)={GC}_{pj} \left({t}_{k,j}^{{\rm{o}}}-{t}_{k,j}^{{\rm{i}}}\right) $

(2)

$ {A_{k,\;i,\;j}} = \frac{{{Q_{k,\;i,\;j}}}}{{\left( {{U_{i,\;j}}{L_{{\rm{MTD}},\;k,\;i,\;j}}} \right)}},k \in {N_k},i \in {N_{\rm{H}}},j \in {N_{\rm{C}}} $

(3)

式中： ${t}_{k,i}^{{\rm{i}}}$ 、 ${t}_{k,i}^{{\rm{o}}}$ 分别为单个换热器在热流股i的进、出口温度； ${t}_{k,j}^{{\rm{i}}}$ 、 ${t}_{k,j}^{{\rm{o}}}$ 分别为单个换热器在冷流股j的进、出口温度； $ {Q}_{k,i,j} $ 为第i股热流体和第j股冷流体换热的热负荷； $ {A}_{k,i,j} $ 为换热器面积； $ {GC}_{pi} $ 、 $ {GC}_{pj} $ 分别为热、冷流股的热容流率； $ {U}_{i,j} $ 为每股冷流体与热流体分别对应的换热系数； $ {L}_{{\rm{MTD}},\;k,\;i,\;j} $ 为每两股冷、热流体的对数平均温差。

$ \qquad L{_{{\rm{MTD}},\;k,\;i,\;j}} = \frac{{{\theta _1} - {\theta _2}}}{{{\rm{ln}}\left( {\dfrac{{{\theta _1}}}{{{\theta _2}}}} \right)}} $

(4)

$ \qquad {\theta }_{1}={t}_{k,i}^{{\rm{i}}}-{t}_{k,j}^{{\rm{o}}} , {\theta }_{2}={t}_{k,i}^{{\rm{o}}}-{t}_{k,j}^{{\rm{i}}} $

(5)

为保证求解范围在满足实际工况的可行域内，给出以下主要约束。

（1）单股流体热平衡

$ \left({t}_{k,i}^{{\rm{i}}}-{t}_{k,i}^{{\rm{o}}}\right) {GC}_{pi}=\sum \limits_{k=1}^{{N}_{k}}\sum \limits_{j=1}^{{N}_{C}}{Q}_{k,i,j}+{Q}_{{\rm{C}}{\rm{U}}i}, \;i\in {N}_{{\rm{H}}} $

(6)

$ \left({t}_{k,j}^{{\rm{o}}}-{t}_{k,j}^{{\rm{i}}}\right) {GC}_{pj}\!=\!\sum \limits_{k=1}^{{N}_{k}}\sum \limits_{i=1}^{{N}_{H}}{Q}_{k,i,j}+{Q}_{{\rm{H}}{\rm{U}}j}, \; j\in {N}_{{\rm{H}}} $

(7)

（2）流体进、出口温度可行域

$ \qquad {t}_{k,i}{\text{≥}} {t}_{k+1,i}, \;\; k\in {N}_{k},\;\;i\in {N}_{{\rm{H}}} $

(8)

$ \qquad {t}_{k,j}{\text{≥}} {t}_{k+1,j}, \;\; k\in {N}_{k},\;\;j\in {N}_{{\rm{H}}} $

(9)

$ \qquad {t}_{k,i}^{{\rm{i}}}{\text{≤}} {t}_{k,i}^{{\rm{o}}}, \;\; k\in {N}_{k},\;\; i\in {N}_{{\rm{H}}} $

(10)

$ \qquad {t}_{k,j}^{{\rm{o}}}{\text{≥}} {t}_{1,j}^{{\rm{o}}}, \;\; k\in {N}_{k},\;\; j\in {N}_{{\rm{C}}} $

(11)

（3）热、冷公用工程热平衡

$ \qquad \left({t}_{k,i}^{{\rm{o}}}-{t}_{1,i}^{{\rm{o}}}\right) {GC}_{pi}={Q}_{{\rm{C}}{\rm{U}}i}\;,\;i\in {N}_{{\rm{H}}} $

(12)

$ \qquad \left({t}_{k,i}^{{\rm{o}}}-{t}_{j,1}^{{\rm{o}}}\right) {GC}_{pj}={Q}_{{\rm{H}}{\rm{U}}j}\;,\;j\in {N}_{{\rm{C}}} $

(13)

2 RWCE算法

强制进化随机游走算法^［15］的主要思想为：随机产生初始网络结构，以目标函数减小为强制进化方向，随机扩大或缩小换热器面积以实现连续变量和结构变量的混合进化；同时，以一定概率接受差解从而实现有效跳出局部最优。RWCE算法流程如图2所示，其中：TAC为年综合费用；a为接受差解概率。

（1）种群初始化

随机生成初始结构 $ {Q}_{i,{N}_{k}}^{0} $ ， $ k=(j-1){N}_{{\rm{H}}}{N}_{{\rm{C}}} \times$ $ i $ 表示每个换热器可能存在的位置。

$ \qquad Q_{i,{N_k}}^0 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_{{\rm{1}},{\rm{1}}}}}& \ldots &{{Q_{1,{N_k}}}}\\ \vdots & & \vdots \\ {{Q_{i,1}}}& \ldots &{{Q_{i,{N_k}}}} \end{array}} \right] $

(14)

（2）进化

对种群内部的所有样本个体进行循环进化操作。进化公式为

$ \qquad Q_{i,{N_k}}^{j + 1} = Q_{i,{N_k}}^j + \left( {1 - 2\eta } \right){\rm{\varphi}} \Delta L,\;{\rm{\eta }} \in \left( {0,1} \right) $

(15)

式中： ${\rm{\varphi}} \Delta L$ 为优化过程中的最小换热量， ${\rm{\varphi }}$ 为可保留的最小换热量关于最大步长 $\Delta L$ 的比例系数，称为保留系数； $ {\rm{\eta }}$ 为 $ \left({0,1}\right) $ 区间的随机数， $ \left(1-2\eta \right) $ 为零均值概率指导进化方向。

（3）选择

以年综合费用下降为强制进化方向进行选择操作。当费用未下降时以一定的生成进化方向概率 $ \delta $ 重新生成进化方向。若经新一轮迭代后费用下降，则更新进化后的个体；若费用没有下降，则保留原有个体。与此同时，若新一代网络结构费用未低于上一代，则仍将以接受差解概率 $ a $ 保留该代的解。

（4）结束

当迭代满足终止条件（设定最大迭代步数或收敛精度）时，优化结束。

3 参数动态更新策略

由上述算法介绍可知，最大步长 $ \Delta L $ 、保留系数 $ {\rm{\varphi }} $ 、接受差解概率 $ a $ 和生成进化方向概率 $ \delta $ 需要根据经验人为设定，且均为在RWCE算法中对结构进化的进度、换热单元生成和消去速度以及最终的换热单元数起着重要作用的参数。在一些参数控制中，系数只与迭代次数有关，这显然无法真实反映个体在实际进化过程中的状态变化，在具有复杂、非线性特性的优化问题中有很大的局限性。在文献［15］中，根据经验，对于10股流优化问题设定参数， $ a=0.02 $ 、 $ {\rm{\varphi }}=0.9 $ 、 $ \Delta L=100\;{\rm{kW}} $ ；对于11股流优化问题，当换热器单元数超过8个时设定参数， $ a=0.02 $ 、 $ {\rm{\varphi }}=0.9 $ 、 $ \Delta L= 50\;{\rm{kW}} $ ，则 $ a=0.02 $ 、 $ {\rm{\varphi }}=0.15 $ 、 $ \Delta L=20\;{\rm{kW}} $ ；对于8股流优化问题，设定参数 $ a=0.01 $ 、 $ {\rm{\varphi }}=0.9 $ 、 $ \Delta L = 50 \;{\rm{kW}} $ 。上述三个算例采用如上参数设定后均得到理想的优化结果。值得借鉴的是，11股流优化问题中根据换热单元数改变参数后，优化性能进一步提高。由此可见，换热单元数相对于迭代次数对于参数的选取起着更有效的参考作用。因此，下面以换热单元数为自变量、各参数为因变量引入线性递减函数动态调整参数以促进RWCE结构进化，并在此基础上提出自适应的参数调整策略以提高RWCE算法性能。

3.1 控制参数对网络性能的影响分析

选取算例一（20股流）进行参数分析，算例一参数如表1所示。采用控制变量法对最大步长 $ \Delta {{L}} $ 、保留系数 $ {\rm{\varphi }} $ 、接受差解概率 $ a $ 和生成进化方向概率 $ \delta $ 进行调试，得到如表2所示的各参数随换热单元数变化的经验值，其中N为换热单元数。种群个数均为200，迭代步数为300 000。固定参数（ $ a=0.01 $ 、 $ {\rm{\varphi }}=0.9 $ 、 $ \Delta L= 100\;{\rm{kW}} $ 、 $ {\rm{\delta }}= 0.02 $ ）与表2中变参数时TAC随迭代步数变化的比较如图3所示。

由图3中可以看出，当参数随换热单元数按一定区间分布时，年综合费用下降的速度较固定参数时明显加快，费用也下降得更多。由此可见，进一步挖掘各参数与换热单元数之间的关联对提高RWCE效率及有效搜寻最优解具有十分重要的意义。

3.2 动态更新策略

由实验分析可知，在RWCE算法初始阶段，个体在较大搜索空间内搜索，最大步长 $\Delta L$ 及接受差解概率 $ a $ 的取值应相对较大，以防止陷入局部最优和避免过多无意义的迭代。随着迭代次数的增加、费用的强制降低以及换热单元数的减少，应逐渐减小 $ \Delta L $ 和 $ a $ ，对目标函数进行更精细的搜索。以 $ a $ 为研究对象，引入Logistic函数作为 $ a $ 的取值策略，并建立函数，即

$ \qquad a_{N}={a}_{0}-\mu \frac{1}{{{\rm{e}}}^{-k_{0}(\tau /N-0.5)}} $

(16)

式中： $ N $ 为上一轮迭代后的换热单元数； $ {a}_{0} $ 为设定的最大接受差解概率； $ k_{0} $ 为曲线平滑因子； $ \tau $ 为动态响应时间；μ为。

选取4股热流体与5股冷流体组成的9股流算例（算例二），其参数如表3所示。取 $ {a}=0.06 $ 、 $ k_{0}= 8 $ 、 $\tau = 1\;{\rm{s}}$ 、 $ \mu =0.05 $ ，得到如图4所示的固定参数与变参数时a随N的变化。针对最大步长 $ \Delta L $ 以及保留系数 $ {\rm{\varphi }} $ 建立随换热单元数的线性变化函数，即

$ \qquad \Delta L={L}_{0}+{\rm{\sigma }}N $

(17)

式中： $ {L}_{0} $ 为最小进化步长，可使换热单元数在很小时继续保持一定步长进行搜索； $ {\rm{\sigma }} $ 为最大步长随换热单元数线性变化因子。

本算例中取 $ {L}_{0}=20$ 、 ${\rm{\sigma }}=9 $ 。

$ \qquad {\rm{\varphi }}={{\rm{\varphi }}}_{0}+\frac{{\varepsilon N}}{{100}} $

(18)

式中： $ {{\rm{\varphi }}}_{0} $ 为最小保留系数，取 $ {{\rm{\varphi }}}_{0}=0.3 $ ； $ \varepsilon $ 为保留系数随换热单元数线性变化因子，取 $ \varepsilon =6$ 。

生成进化方向概率取均值 $ \delta =0.02 $ ，该参数修正部分为图2流程图中虚线部分，在每次个体更新前进行动态更新，得到的固定参数与变参数时年综合费用随迭代步数变化的比较如图5所示。其在迭代300 000步后最终优化结果为2 931 195 $·a⁻¹，较固定参数时在相同迭代步数下费用下降3 394 $·a⁻¹。该结果对应结构如图6所示，其与文献结果的比较如表4所示。

4 结　论

本文根据换热单元数目设定逐渐变化的控制参数，分析其对网络性能的影响，提出控制参数随换热单元数动态更新促进结构进化的换热网络优化策略。通过算例分析得到如下结论：①若参数均为定值，将在一定程度上削弱算法后期的进化更新，使寻优陷入停滞状态，无法朝费用下降方向继续进化。与此同时，若仍保持一定概率的接受差解机制，将导致进化不但停滞，而且年综合费用会随着迭代步数增加不断升高。②引入Logistic函数作为接受差解概率的取值策略，其随换热单元数减少而递减；最大步长随换热单元数增加而线性增大。使算法参数不断随换热单元数更新，能够有效避免进化停滞不前，使得进化过程更加合理，大大提高搜索效率和找到最优解的概率。③对于不同算例， $ {a}_{0} $ 、 $ k $ 、 $ \tau $ 、 $ \mu $ 以及 $ {\rm{\sigma }} $ 、ε均取不同值，本文给出9股流算例参数动态更新公式的参数经验值。实验证明，该策略能有效提高算法搜索效率，在相同迭代步数下找到相对于固定参数时更优的网络结构。