换热网络在现代工业生产过程起着举足轻重的作用，特别是在石油化工、能源动力、低温工程等^［1］对能源需求相对较大的领域，为降低产品成本和节约能耗对其进行综合优化具有重要的意义^［2］。20世纪70年代开始，换热网络综合优化逐步发展成为新时期的热点问题，产生了一系列优化设计换热网络的方法。对于换热网络中的连续变量，通常采用确定性方法进行优化^［3］。但由于换热网络优化问题具有严重的非线性和非凸特性，导致局部最优解太多，而确定性方法的优化结果不能保证可以找到全局最优解。

近年来，通过模拟自然界生物的群行为构造随机优化算法的思想迅速发展，使得启发式方法更加多样化^［3］。粒子群算法^［4］作为其典型的方法之一，采用模拟鸟群飞行觅食行为的方法，通过鸟之间的集体协作使群体达到最优。但其在换热网络中的应用相对较少。严丽娣等^［5］利用粒子群算法对换热网络进行优化，取得了较好的结果。

本文通过对严丽娣等^［5］提出的粒子群算法优化换热网络的策略进行改进，对算法中参数的取值进行调整，使算法具有更好的全局收敛性能。

1 换热网络优化数学模型 1.1 换热网络综合问题的表述

假设需要冷却 ${N_{\rm H}}$ 股热流体，需要加热 ${N_{\rm C}}$ 股冷流体，利用热流体和冷流体之间的匹配，充分利用能量，从而减少公用工程的能量消耗。本文以2股热流体和2股冷流体为例，采用Grossmann^［6］分级超结构模型，其无分流的换热网络分级超结构如图1所示，其中： ${\rm H_1}$ 、 ${\rm H_2}$ 均表示热流体； ${\rm C_1}$ 、 ${\rm C_2}$ 均表示冷流体。所有冷、热流体的换热组合记为一个级，每种换热组合可以匹配一个换热器，而每一级的最大换热器的数目表示为 ${N_{\rm H}}{N_{\rm C}} = 4$ ，换热网络的最大级数为 ${N_{\rm K}}$ ， $ {N_{\rm K}} =$ $ \max \left( {{N_{\rm H}},\;{N_{\rm C}}} \right)$ ，最大的换热器个数可达 ${N_{\rm H}}{N_{\rm C}}{N_{\rm K}} = 8$ 。冷、热公用工程设置在流股的末端。

1.2 优化的目标函数

传统的换热网络综合优化时是以换热网络性能，即年综合费用F为目标函数，F主要包括面积投资费用和公用工程费用，通常以此作为评价换热效率的指标^［7］。面积投资费用包括换热器固定投资费用、面积费用；公用工程费用包括冷、热公用工程费用。

以F最小为优化目标，其数学描述为

$ \begin{split} \quad\quad& F = \sum\limits_{i \in {N_{\rm H}}} {{C_{\rm CU}}} {\text{·}} {Q_{{\rm CU},i}} \!+\! \sum\limits_{j \in {N_{\rm C}}} {{C_{\rm HU}}} {\text{·}} {Q_{{\rm HU},j}}\,+ \\ &\sum\limits_{k \in N_{\rm K}} {({C_0} \!+\! {C'_0}} A_{\rm K}^B) + \sum\limits_{i \in {N_{\rm H}}} {({C_1}} \!+\! {{C'_1}}A_{{\rm CU},i}^B) \,+\\\ &\sum\limits_{j \in {N_{\rm C}}} {({C_2}} \!+\! {{C'_2}}A_{{\rm HU},j}^B) \end{split} $

(1)

式中：等号右边前两项为运行费用，后三项为设备投资费用； $N_{\rm K}$ 为换热器个数； ${A_{\rm K}}$ 为换热器面积； $B$ 为面积费用指数； ${C_{\rm CU}}$ 、 ${C_{\rm HU}}$ 分别为冷、热公用工程费用系数； ${Q_{{\rm CU},i}}$ 为冷公用工程与第i股热流体之间的换热量； ${Q_{{\rm HU},j}}$ 为热公用工程与第j股冷流体之间的换热量； ${C_0}$ 为换热器固定费用； ${C_1}$ 、 ${C_2}$ 分别为冷、热公用工程固定投资费用； ${C'_0}$ 为换热器面积费用系数； ${C'_1}$ 、 ${C'_2}$ 分别为冷、热公用工程面积费用系数； ${A_{{\rm CU},i}}$ 、 ${A_{{\rm HU},j}}$ 分别为冷、热公用工程换热面积。

计算单个换热器时，同时要求换热的冷、热流股之间满足

$ \quad\quad\left\{ \begin{gathered} {T_{\rm H,\,i}} > {T_{\rm C,\,o}} \hfill \\ {T_{\rm H,\,o}} > {T_{\rm C,\,i}} \hfill \\ \end{gathered} \right. $

(2)

式中： ${T_{\rm H,\,i}}$ 、 ${T_{\rm H,\,o}}$ 分别为热流体进口、出口温度； ${T_{\rm C,\,i}}$ 、 ${T_{\rm C,\,o}}$ 分别为冷流体进口、出口温度。

如果不满足以上约束，则认为热流体不能将冷流体加热到 ${T_{\rm H,\,o}}$ ，冷流体不能将热流体冷却到 ${T_{\rm C,\,o}}$ 。此两股流体之间暂不存在换热器，换热面积为0。

2 粒子群优化算法实现步骤

粒子群算法的发展始于1995年Kennedy和Eberhart^［4］提出的基本粒子群算法。其中基本粒子群算法的参数是固定的，这使得优化函数时精度较差。以图1中的4股流体为例，阐述粒子群算法在换热网络中的实现。该算法的具体步骤为：

（1）设定种群大小和最大迭代次数，种群中每个粒子代表换热网络的一个结构，粒子各维度下的值代表每个结构中各换热器的换热面积。

（2）设初始换热器面积取值为 $\left( {0,5} \right)$ ，初始种群大小为 $N$ ，每个粒子含有 $d$ 个换热器，则这 $N$ 组 $d$ 维优化变量（换热面积）为 ${x_i} \,=\, \left( {{x_{i1}},}\right. $ $\left.{{x_{i2}},\cdots,{x_{id}}} \right) \,=\, {\rm{rand}}() \,\times\, 5,i \,=\, 1{\text{、}}\!2{\text{、}}\!\cdots{\text{、}}\!N$ 。 $N$ 组 $d$ 维粒子速度为 ${v_i} = \left( {{v_{i1}},{v_{i2}},\cdots,{v_{id}}} \right) = {\rm{rand}}()$ 。 ${\rm{rand}}()$ 是介于 $\left( {0,1} \right)$ 之间的伪随机数。

（3）种群中各粒子按照式（3）、（4）依次改变换热器面积及飞行速度，即

$ \quad\quad v_{id}^{k + 1} \!=\! \omega v_{id}^k \!+\! {c_1}{\gamma _1}\left( {p_{id}^k \!-\! x_{id}^k} \right) \!+\! {c_2}{\gamma _2}\left( {p_{gd}^k \!-\! x_{id}^k} \right) $

(3)

$ \quad\quad x_{id}^{k \,+\, 1} \,=\, x_{id}^k \,+\, v_{id}^{k \,+\, 1} $

(4)

式中： $k$ 为迭代次数； $P_{id}^k$ 为第i个粒子当前第k次迭代中搜索到的最优位置； $P_{gd}^k$ 为整个粒子群迄今为止搜索到的最优位置； ${\gamma _1}$ 、 ${\gamma _2}$ 均为 $\left[ {0,1} \right]$ 之间的伪随机数，这两个参数是用来保持群体的多样性； $\omega $ 为惯性权重，起着权衡历史速度与当前速度的作用； ${c_1}$ 、 ${c_2}$ 均为学习因子，也称加速因子，其使粒子具有自我学习和向群体中优秀个体学习的能力，从而向自身历史最优以及群体历史最优靠近^［8］。

（4）若未满足最大迭代次数，则重复步骤（3），循环计算。在 $k$ 为1 000次后跳出，记录最优的换热网络面积及换热网络最小年综合费用。

3 粒子群算法中控制参数的改进

选取严丽娣等^［5］论文中的一个考虑固定投资的4sp2算例为例，表1为算例4sp2物流参数，其中：T_i、T_o分别为流体进口、出口温度；MC_p为流体热容流率。在其论文中，通过对夏涛等^［8］提出的运用粒子群算法求解换热网络思路的改进，对换热网络进一步优化，得到了最小年综合费用为124 670＄·a⁻¹的优化结果。但其改进的过程没有具体的实现步骤，本文对粒子群中参数进行改进，使其能够搜索到更优的解。计算中，换热器、冷却器的传热系数均为0.8 kW·m⁻²·℃⁻¹，加热器的传热系数为1.0 kW·m⁻²·℃⁻¹，加热器价格公式为8 600 + 1 200 A^0.6＄·a⁻¹，其中A为换热器的面积，其他换热器价格公式为8 600 + 1 000 A^0.6＄·a⁻¹。加热公用工程价格和冷却公用工程价格分别为80、20＄·kW⁻¹·a⁻¹。

由于标准粒子群算法中参数固定，优化时往往达不到理想效果，因此对参数进行调整是有必要的。但不同于其他算法，粒子群算法中需要调整的参数较少，主要包括：惯性权重ω；最大飞行速度限制[−v_max，v_max]；学习因子c₁、c₂；种群大小N；迭代次数k。

在换热网络的优化过程中，种群大小和迭代次数对优化结果影响不大，但取值都不宜过小，取适中值（N = 100，k = 1 000）。下面重点分析惯性权重ω、最大飞行速度v_max、学习因子c₁和c₂。在标准粒子群算法中，ω = 0.5，c₁ = c₂ = 2.0。将这三个固定取值的参数运用到4sp2的换热网络中进行优化，得到的最小年综合费用为130 283＄·a⁻¹。

3.1 惯性权重 $\omega $

$\omega $ 起着权衡历史速度与当前速度的作用，同样也起着权衡局部最优能力和全局最优能力的作用^［7］。ω较大时促进全局探索，ω较小时促进局部搜索，合适的ω可权衡全局和局部的影响，且在找到最优解时需要更少的迭代次数。本文采用线性递减^［5］的ω代替固定取值的ω，算法开始时取较大的ω促使粒子快速搜索到全局最优区域，进化后期取较小的ω促进粒子精细搜索全局最优解。文献［9］证明ω从1～0.4线性递减比固定ω = 0.5好，即

$\quad\quad\omega \,=\, 1 \,-\, \frac{{0.6\;k}}{{{k_{\max }}}}$

(5)

式中， ${k_{\max }}$ 为最大迭代步数。

将标准粒子群中固定的 $\omega $ 换成上述线性递减的 $\omega $ ，得到的换热网络最小年综合费用为124 825＄·a⁻¹。

虽然粒子群算法应用于换热网络的搜索过程是非线性的复杂过程，式（5）中 $\omega $ 从全局搜索到局部搜索的线性变化并不能真实地反映搜索全局最优过程，但在换热网络优化的问题上，动态变化的 $\omega $ 对算法性能的增强起到较大作用。

3.2 学习因子和最大速度

${c_1}$ 、 ${c_2}$ 对粒子群算法的收敛作用不大，但如果适当调整这两个参数，可以减小易于陷入局部最小值的困扰，当然也会改善算法的收敛速度。

由于粒子群算法中没有实际的机制控制粒子速度，所以有必要对速度最大值进行控制。设置速度阈值为 ${v_{\max }}$ 。该参数被证明是非常重要的，因为值太大会导致粒子跳过最优解，太小的话又会导致对搜索空间的不充分搜索^［10］。

1999年Clerc^［11］证明为确保粒子群算法收敛，有必要使用收缩因子。将使用 $\omega $ 的粒子群算法（PSO）与使用收缩因子的PSO进行比较，粒子速度更新为

$ \quad\quad v_{id}^{k + 1} \!\!=\! k\!\left[ {v_{id}^k \!+\! {c_1}{\gamma _1}\left( {p_{id}^k \!-\! x_{id}^k} \right) \!+\! {c_2}{\gamma _2}\left( {p_{gd}^k \!-\! x_{id}^k} \right)} \right] \!\!\!\! $

(6)

$ \quad \quad k = \frac{2}{{\left| {2 - \varphi - \sqrt {{\varphi ^2} - 4\varphi } } \right|}} ,\varphi = {c_1} + {c_2} $

(7)

Clerc^［11］的结论表明，为使PSO性能最好，有两种方法：①使用收缩因子，且使 ${v_{\max }} = {x_{\max }}$ ；②使用 $\omega $ ，取 $\omega =0.729$ ， ${c_1}={c_2}= $ $1.494\;45$ 。本文将结合以上结论，取 ${c_1}={c_2}= $ $1.494\;45$ ， $\omega $ 仍采用线性递减形式， ${v_{\max }}$ 采用换热网络优化中不会引起面积爆炸的一个较大值， ${v_{\max }}=1\;000$ 。实际上，式（3）、（4）与式（6）、（7）中参数的选取是相通的。

将 $\omega $ 、 ${c_1}$ 、 ${c_2}$ 代入换热网络中进行优化，得到换热网络的最小年综合费用为123 910＄·a⁻¹。最终最优换热网络结构如图2所示。

将上述的参数选择逐步运用到4sp2的换热网络综合优化中，得到换热网络最小年综合费用对比如表2所示。由表中可以看出，对标准粒子群算法中的固定参数进行调整是有效的，改进后的粒子群算法具有更好的全局搜索能力。

4 结　论

（1）在将标准粒子群算法应用于无分流换热网络模型的基础上，对其中的参数 $\omega $ 、 ${c_1}$ 、 ${c_2}$ 、 ${v_{\max }}$ 进行调整、改进，通过逐步分析将标准粒子群算法中固定的参数调整为合适的值，使该算法对全局和局部探索能力更加平衡。

（2）利用一个4股流体算例验证参数改进后的计算效果，可知改进后的算法具有更好的全局搜索能力。与标准粒子群算法得到的年综合费用130 283＄·a⁻¹相比，最终改进后的费用为123 910＄·a⁻¹，降低了6 373＄·a⁻¹。