与其他电气设备相比，变压器具有较高的运行效率^［1］。而局部放电会影响变压器的利用率，其原因是变压器自身存在着绝缘弱点^［2］。局部放电（PD）试验的目的十分明确，就是要通过试验了解绝缘材料的内部缺陷。检测过程中，信号的干扰抑制是一大难点。一方面，PD信号是短时微弱信号；另一方面，试验过程中，设备周围的电磁环境恶劣。导致提取到的PD信号因噪声的污染产生了严重的畸变。如果提取到的信号不进行处理而直接使用，最终所得到的试验结果会与实际情况发生严重偏离。目前，常用的去噪方法有小波分解与重构、小波阈值去噪、基于小波变换模极大值算法的去噪等。表1给出了几种小波去噪方法的性能对比^［3］，其中，小波阈值去噪方法使用得十分广泛，但它同样也存在一些缺点，比如阈值的选取需要依赖经验等^［4］。文献［5］将偏微分方程与小波变换相结合，达到较好的去噪效果。本文试图作些简化，略去小波变换的步骤，以提高计算速度。借鉴偏微分方程在图像去噪方面取得的良好效果，本文将尝试利用扩散方程对PD信号进行干扰抑制。

1 PD信号的数学模型

PD信号是一种短时微弱非平稳信号，变压器PD信号如图1所示。本文采用常见的双指数衰减振荡模型^［6］表征该信号，即

$\quad\quad f(t) = A({{\rm{e}}^{{{ - t} / {{\tau _{\rm d}}}}}} - {{\rm{e}}^{{{ - t} / {{\tau _{\rm f}}}}}})\sin \; (2 \text{π} {f_{\rm{c}}}t)$

(1)

式中： $A$ 为信号幅值，取1 mV； ${\tau _{\rm{d}}}$ 为时间常数，取1 ${\rm{\mu s}}$ ； ${\tau _{\rm{f}}}$ 取8 ${\rm{\mu s}}$ ； ${f_{\rm{c}}}$ 为振荡频率，取1 MHz；t为时间。

2 扩散方程及其数值解法 2.1 扩散方程

在图像处理中常用二维热传导方程^［7］，即

$\quad\quad\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = \Delta u = a {\text{·}} \left(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}}\right)$

(2)

式中： $\Delta $ 为拉普拉斯算子； $u(x, y, t)$ 表示在 $\;t\;$ 时刻坐标 $(x, y)$ 处的温度； $a$ 为与热传导系数有关的正常数。

式（2）在进行图像处理时能有效地保留图像信号的边缘信息，因此可以利用它来处理一维变压器PD信号，对信号进行线性滤波的结果可以看成是扩散方程初值问题的解。将待去噪的信号看作是扩散方程在0时刻的初值，从初值开始不断进行迭代就可以去噪。于是将式（2）所处理的对象从二维降到一维，改写成

$\quad\quad\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = a {\text{·}} \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}$

(3)

这样就可以用式（3）进行一维信号的处理。本文试图以式（3）为基础建立PD信号的去噪算法。设待去噪信号为 $s(x)$ ，则问题就转化为以 $s(x)$ 为初值，利用式（3）不断进行的迭代过程，从而达到去噪的目的。因此，建立的数学模型为

$\quad\quad\left\{ \begin{gathered} \frac{{\partial u}}{{\partial t}} = a {\text{·}} \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} \\ u(x, 0) = s(x) \end{gathered} \right.$

(4)

2.2 方程的数值解法

通过求解（4）的初值问题就会实现对信号 $s(x)$ 去噪的目的。直接对偏微分方程进行手工求解会十分困难，现代数学处理多采用计算机软件进行，因此，利用数值解法求解该方程。

首先，对变量 $x - t$ 建立网格，分别以 $h{\text{、}}\tau $ 为空间步长和时间步长，设 ${x_i} = ih$ ， ${t_k} = k\tau $ ，采用平行于 $x$ 轴和 $t$ 轴的两组平行线建立网格。

根据微积分的基本理论，有

$\quad\quad \left\{ \begin{align} & {u_{i \!-\! 1, k}} \!=\! {u_{i, k}} \!+\! {\left(\!\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\!\right)_{i, k}}\!\!\! ( - h) \!+\!{\left(\!\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}\!\right)_{i, k}}\!\! {\text{·}}\frac{{{h^2}}}{2} \!+\! o({h^2}) \!\!\!\!\!\!\\ &{u_{i + 1, k}} = {u_{i, k}} \!+\! {\left(\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\right)_{i, k}}\!\!h \!+\! {\left(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}\right)_{i, k}}\!\!{\text{·}}\frac{{{h^2}}}{2} \!+\! o({h^2}) \end{align} \right.\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! $

(5)

将式（5）中的两个等式相加，可得

$\quad\quad{\left(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}\right)_{i, k}} \approx \frac{1}{{{h^2}}}({u_{i - 1, k}} + {u_{i + 1, k}} - 2{u_{i, k}})$

(6)

而 $u$ 对 $t$ 的一阶偏导数可以离散化为

$\quad\quad{\left(\frac{{\partial u}}{{\partial t}}\right)_{i, k}} \approx \frac{1}{\tau }({u_{i, k + 1}} - {u_{i, k}})$

(7)

令 $r = {{a\tau } / {{h^2}}}$ ，于是式（4）便可离散化为

$\quad\quad\left\{ \begin{gathered} {u_{i, k + 1}} = (1 - 2r){u_{i, k}} + r({u_{i + 1, k}} + {u_{i - 1, k}}) \hfill \\ {u_{i, 0}} = {s_i} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(8)

要使得该方程有稳定的数值解，必须保证 $r \leqslant 0.5$ ^［8］。此处取 $r = 0.1$ ，以 ${u_{i, 0}}$ 开始，逐层计算至 ${u_{i, k}}$ 。根据迭代次数的不同，可以得到不同失真度下的去噪信号。

3 PD信号干扰抑制的仿真分析 3.1 PD信号中的噪声

PD信号是一种微弱信号，很容易被噪声覆盖，噪声的主要成份是白噪声信号和窄带周期信号^［9］，它们或来自于电阻等元件的热噪声，或来自于电子开关周期动作产生的干扰信号等。由于这些干扰的存在，使得PD信号无法作为进行PD试验的依据，因此，要想去除信号中的干扰，有必要先了解PD信号中干扰信号的形式。

一般情况下，受干扰的PD信号可表示成^［5］

$\quad\quad s(t) = f(t) + m(t) + n(t)$

(9)

式中： $f(t)$ 为实际的PD信号； $m(t)$ 为周期干扰信号； $n(t)$ 为白噪声信号。

3.2 仿真结果

为了验证本文所提出的方法在变压器PD信号的干扰抑制中的效果，利用Matlab软件进行了仿真分析，并与小波阈值去噪作了对比。依据经验选取小波阈值去噪中的阈值。

本文中原始PD信号如图1所示。周期干扰信号 $m(t)$ 取幅值为0.2 mV、频率为20 MHz的一个简单正弦信号。利用算法生成一个均值为0、强度为5的白噪声信号 $n(t)$ ，将这两种信号一并加入至 $f(t)$ 中，如图2所示。图3为利用小波阈值去噪结果^［10］，图4为利用本文的方法进行去噪的结果。很明显，本文的方法去噪效果较好，与原始局部放电信号非常接近。

4 结　论

通过仿真计算发现，利用扩散方程对PD信号的干扰进行抑制可取得较好的效果。从利用扩散方程对PD信号进行去噪得到的波形可以看出，该方法能有效保留信号的边缘信息，去噪效果十分明显。通过计算信噪比发现，利用小波阈值去噪后信号的信噪比为22.13 dB，而利用扩散方程去噪后信号的信噪比为28.41 dB。当然，迭代次数并非越多越好。实验表明，随着迭代次数的不断增大，信噪比呈现先上升后下降的趋势，如何找到合适的迭代次数是一个需要进一步研究的问题。