自由表面涡是自然界中常见的现象, 多出现在水泵吸水池内和水工建筑物进水口处。当进口上方的涡量强度达到某一临界值或自由液面高度低于所谓的临界淹没深度时, 自由表面涡便会发展成携物旋涡或形成气芯, 并最终发展成吸气旋涡。这些旋涡的存在会导致离心泵的空化、振动, 甚至降低整个泵站的效率。因此研究吸水池入水口处的流动规律, 以及自由表面涡的形成原因具有重要的意义。

前人对此现象已进行了大量的实验研究。由于自然界中出现此流动现象的场合种类繁多, 为简便起见, 学者们多采用侧面流入、底部排出的圆桶状容器, 对其内部出现的自由表面涡流动进行观测。在这一实验装置中, 定义流动的径向雷诺数Re_r=Q/(hν), 出口雷诺数Re_o=ud/ν, 其中:Q为出口流量; h为水面高度; u为出口流速; d为排水口直径; ν为动力黏度。Monji等^[1]在径向雷诺数为300~600之间研究了温度、径向雷诺数、水面高度和表面张力等对气芯长度的影响。Fernandez-feria等^[2]研究了出口雷诺数在750~1 900之间圆柱形容器中高径比对流场中径向速度和切向速度的影响, 并由实验得到了旋涡形成时的出口临界雷诺数介于1 300~1 400。对于自由表面涡流动, 流场中切向速度沿着径向呈现先增大后减小的分布, 一般将切向速度最大处定义为涡核边界。Huang等^[3]在实验中采用从顶部吸水的方式形成自由表面涡现象, 并将不同颜色染料注入水中观察涡核内的结构, 得到了一种类分层流的双胞涡分布, 且层与层之间的流体没有明显的相互掺混, 可以认为是一个比较典型的层流流动现象。虽然前人对不同雷诺数下形成的流场进行了细致的分析, 但尚未就此流动现象中临界雷诺数的数值达成一致。

在理论研究中, Einstein等^[4]讨论了自由表面涡在层流和湍流两种状态下的N-S方程。Odgaard^[5]和Stepanyants等^[6]在层流基础上得到了基于N-S方程的临界淹没深度公式, 并与Odgaard的实验结果进行了对比, 发现当水面高度大于0.5 m时两者的临界淹没深度公式计算值均与实验数据较吻合。Burgers等^[7-9]也在层流N-S方程基础上提出了多种涡模型。

近年来, 由于计算机技术的迅速发展, 数值模拟在研究流体流动方面得到了大量的应用。赵永志等^[10]采用雷诺应力湍流模型对自由表面旋涡进行了数值模拟, 运用流体体积(VOF)模型处理自由界面问题, 给出了旋涡自由液面的变化过程。陈云良^[11]则采用RNG k-ε模型和标准k-ε分别模拟自由表面涡, 获得了水面处的多圈螺旋结构。丛国辉等^[12]分别采用标准k-ε模型、RNG k-ε模型和Realizable k-ε模型对此现象进行模拟。虽然上述学者在计算中引入了多种湍流模型, 但在计算前均未明确给出自由表面涡的流动状态是湍流的依据。从目前所掌握的文献来看, 尚没有将自由表面涡视为层流流动并对其进行数值模拟的报道, 因此本文对此进行了一次尝试。

此外, 在自由表面涡的实验中, 尽管边缘入口处的速度非常小, 但由于流场的特殊流动结构, 在涡核中心处也会产生非常大的切向速度, 导致中心流体处的剪切应力变大, 使流动失稳。因此, 若要明晰自由表面涡的流动机理, 必须首先了解涡核处的流动状态。本文模拟自由表面涡流动, 以获得旋涡发展状态与涡量之间的关系。

1 数学模型 1.1 多相流模型

VOF模型常用来处理具有明显交界面的多相流问题。具体方法就是在整个流场中定义一个体积分数函数α_x。假设每个网格中第一相的体积分数为α₁, 若α₁=0, 则该网内不含第一相, 若α₁=1, 则该网格内只含第一项, 若0＜α₁＜1, 则该网格内含有两相交界面。因此, 只要确定了网格中的体积分数, 就能明确求出不同相的流体所对应的位置及相间分布。

体积分数通过连续性方程求解, 即

(1)

式中:ρ_n为第n相流体的密度；α_n为第n相的体积分数; 为第n相的速度矢量; m_ln为第n相流体流入第l相流体中的质量；m_nl为第l相流体流入第n相流体中的质量; S_n为源项, 如果多相流体间没有特殊的质量输运, 该项一般为0;t为时间。

1.2 计算区域、边界条件和初始条件

本文计算域为高度L=50 mm、半径R=40 mm的圆柱形容器, 容器底部有直径d=4 mm的排水口, 排水口高度1 mm。为了消除数值计算在边界上的非物理性, 在出口与底部间做一个45°的倒角。容器中水位H始终稳定在44 mm, 容器绕z轴作等角速度旋转。计算模型如图 1所示, 其中, Ω为容器旋转角速度。

模型采用非稳态基于压力的求解方式, 压力速度耦合方法采用SIMPLE算法, 并利用PRESTO方法进行压力离散, 时间步长为0.000 1 s, 残差控制在10^-5数量级。整个计算域网格数量为266万, Ω=1.26 r·s^-1, 进口流速为0.004 5 m·s^-1, 盆池上方为等压力入口, 入口压力P_i=0 Pa, 出口边界条件为压力出口, 出口压力P_o=-10 000 Pa, 操作压力为一个大气压。

2 计算结果及分析 2.1 流动特征 2.1.1 气芯长度随时间的变化

在数值模拟中, 经计算得出由平稳液面发展至有明显气芯生成约需8 s, 此后气芯长度趋于稳定。自由表面涡随时间的演化过程如图 2所示。由图中可知:2 s时, 水面保持较平稳的状态; 2.5 s时水面略微下陷; 3 s时水面有明显凹陷, 气芯开始产生, 直至8 s时形成明显稳定的气芯; 8~10 s时气芯长度基本稳定。图 3为气芯长度l随时间的变化。

2.1.2 多圈螺旋特性

陈云良^[11]通过实验发现立轴旋涡具有多圈螺旋流特性, 如图 4(a)所示, 表现为流体质点在从水面向水下运动的过程中, 围绕涡轴旋转十余圈, 在进水口附近变为轴向流动。本文模拟中也得到了类似的结果, 如图 4(b)所示。由图 4中可知, 旋涡流场的多圈螺旋流特性随淹没深度变化呈现上密下疏的状态。这是由于越接近出水口轴向速度越大, 对螺旋流产生了一定的拉伸作用。

2.2 流场参量变化 2.2.1 涡量随时间的变化

图 5为流动过程中涡量发展过程, 并显示了涡量为100 s^－1处的等值面。从图中可看到, 涡量最初聚集在气液交界面及排水口处。气液交界面的涡量不断向中心处聚集, 当达到一定强度时, 中心处的局部压力小于附近的压力, 使得自由液面中心处形成凹陷。与此同时, 自由液面与盆池壁面处产生的涡量源源不断地向内补充。盆池底部由于径向射流而产生旋涡, 由于排水口为较大负压(P_o=－10 000 Pa), 因此会产生较大的旋转速度, 从而形成较大的涡量。底部涡量向上延伸, 最终与在自由液面中心处不断向下延伸的涡量汇聚, 轴线处的涡量不断增大, 因此可以实现稳定的气芯。图 6为中心轴线处涡量随时间的变化。由图中可知, 轴线处的涡量随时间增大而增大, 并在气芯稳定时趋于稳定。在距底部5 mm范围内涡量减小得最快, 并在轴线中间部分基本保持定值, 但在气芯尖端附近增大。在本文算例中, 可以看到气芯开始形成时气芯下方的涡量在1 000 s^－1左右。因此可认为自由表面涡只有在中心轴线处涡量积累到一定程度时才能形成气芯。

2.2.2 流场内速度分量随时间的变化

图 7为2~8 s速度分量的变化, 图中:υ_z为轴向速度; υ_θ为切向速度; υ_r为径向速度; r为涡核半径; 所取位置为距底部20 mm处。涡核区域外的轴向速度在气芯开始形成后基本不变。在6 s后, 轴向速度由涡核内向中心处逐渐减小, 同时径向速度变大。这是由于气芯的向下延伸对下方流体流动产生了阻碍作用。在气芯形成过程中切向速度逐渐增大, 且在2~4 s时即在表面略有凹陷的阶段速度增大得最快, 而径向速度基本无变化。

2.2.3 涡核内流体流动状态

由于涡核内的流动是流体从层流转捩为湍流的根源, 因此本文分析了涡核内的流场, 包括涡核半径、涡核半径处切向速度、涡核处环量和涡核内速度梯度。图 8为涡核半径随时间的变化。3 s时气芯开始形成。从图 8中可看出, 一旦出现气芯则涡核半径减小, 且直至气芯稳定, 涡核半径基本无变化, 此外, 涡核半径并不受气芯深入的影响。在同一时刻, 涡核半径随高度的增大而增大, 且在接近气水交界面时突然增大。

图 9为不同高度上的切向速度最大值υ_{θ, max}, 即涡核边界处切向速度随时间的变化。从图中可知, 在2~6 s时, 涡核处切向速度增大得最快, 并在6~10 s时保持平稳, 且越靠近底部涡核速度越大。

图 10为涡核处环量随时间和高度的变化。由图中可看出:在气芯开始形成时, 即3 s左右, 涡核处环量较小; 在气芯深入到流场中部时, 涡核处环量基本不变; 在高度方向上环量随着高度增加先减小后增大, 这与底部排水口和水面中心处的涡量聚集有关。

图 11(a)为10 s时涡核内切向速度梯度随高度的变化。距底部5 mm处切向速度梯度减小得最快, 但在10~20 mm处基本不变。图 11(b)为气芯形成后涡核内切向速度梯度随时间的变化。随着时间的增大, 速度梯度减小得越来越快, 直至7~8 s时达到稳定。

2.2.4 10 s时速度分量随高度的变化

在10 s时, 流动基本已达到稳定状态, 这是一个较有代表性的状态, 因此本文对该时刻的流动状态进行分析, 以研究盆池涡的典型流动特征。z=20 mm、z=10 mm和z=1 mm分别代表距底部20、10、1 mm, y方向指从轴线到盆池边缘的截线。图 12(a)、(b)分别为距底部10、20 mm处的切向速度云图。由于计算模型外围进水的均匀性, 流场的流动分布十分对称。由图 12中可知, 10 mm处涡核速度明显比20 mm处的大。图 13为靠近底部流体的三个速度分量的变化。在涡核内, 流体在黏性作用下近似作等角速度刚体旋转, 而在涡核外切向速度近似为势流点涡的速度分布。切向速度与轴向速度均随着深度的增加而变大, 并在底部薄层附近急剧增加。径向速度在底部薄层上方基本无变化, 在薄层附近时径向速度从边缘到中心处逐渐增大, 在排水口附近处逐渐被轴向速度代替因而慢慢减小, 直至消失。唐洪武等^[15]采用粒子图像测速(PIV)测量旋涡的结果表明, 当出现吸气旋涡时, 切向速度较大, 轴向速度在离开出口边界较小的范围后其值较小, 可忽略, 而径向速度较大并随半径减小而增大, 越接近底部速度越大, 向心流的大部分流体集中在离底部很近的薄层内。

3 结论

(1) 采用Fluent软件对自由表面涡进行了模拟, 得到了气芯生成、演化的过程及多圈螺旋流动现象。

(2) 得到了各个速度分量随时间的变化, 以及气芯稳定后各速度分量的变化。总的来说, 切向速度和轴向速度受气芯存在与否的影响较大, 而径向速度受其影响不大。

(3) 得到了涡核半径、涡核处切向速度、涡核处环量、以及涡核内切向速度梯度随时间和高度的变化规律, 这为进一步掌握涡核结构以及了解自由表面涡流动现象提供了一定的参考。